山東省實驗中學高三第三次診斷性測試
數學試題（文科）2009.3
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。滿分150分。考試用時120分鐘，考試結束后，將答題紙和答題卡一并交回。
第I卷（選擇題60分）
注意事項：
1．答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號和準考證號填寫在答題卡和試卷規定的位置。
2．第I卷共2頁。答題時，考生需用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號、在試卷上作答無效。）
參考公式：
椎體的體積公式：
，其中
是椎體的底面積，h是椎體的高
球的表面積公式：
,其中
是球的半徑
如果事件A，B互斥，那么
一、 選擇題（共12題，每題只有一個正確答案，每題5分，共60分）
1.
若復數
是純虛數（
是虛數單位，
是實數）則等于
A -2
B 
C
D
2
2.已知
，則“
”是“
成立”的
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件
C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
3.命題“若
，則
”的逆否命題是
A若
，，則
B若
，，則
C若
且
，則
D若 或則
4.函數
的圖像如下圖所示，則
的圖像是
5.已知函數
，則它的周期T和圖像的一條對稱軸方程是
A 
B 
C 
D 
6.已知一個幾何體的三視圖如右圖所示，它的表面積是
A 
B 
C 
D 6
7.在平面直角坐標系
中，設M是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于4的點構成的區域，N是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向M中隨機投一點，則落入N中的概率為
A 
B 
C 
D 
8.已知直線
的傾斜角為
，直線
經過點
和
，且直線與直線垂直，直線
方程為
，且直線與直線平行，則
等于
A -4
B
9.已知函數
，且
是偶函數，則
的大小關系是
A 
B
C 
D
10.已知向量
，若
，則與
的夾角為
A 300或1500 B 600或
11.已知
是定義在R上的奇函數，且
，當
時，
則
的值為
A -6
B 
D
12.已知P是雙曲線
的右支上一點，M、N分別是圓
和
上的點，則
的最大值為
A 6
B
第Ⅱ卷（共90分）
注意事項：
第Ⅱ卷共3頁。考生必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題紙上各題目的指定答題區域內
作答，填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。在試卷上作
答無效。
二、填空題（共4題，每題4分，共16分）
13.某校高三數學測試中，對90分以上（含90分）的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示。若130―140分數段的人數為90，則90―100分數段的人數為
14.已知實數
滿足
，則
的最大值為
15若執行如右圖所示的程序框圖，則輸出S=
16.若不等式
在
上恒成立，則實數
的取值區間是
三、解答題（共6題，共74分）
17．（本小題滿分12分）
在
中，
a)
求
的值
b)
設
，求的面積
18．（本小題滿分12分）
已知關于
的一元二次函數
，設集合
，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為和
（I）
求函數有零點的概率；
（II）
求函數在區間
上是增函數的概率。
19. （本小題滿分12分）
已知直角梯形ABCD中，
過A作
，垂足為E、G、F分別為AD、CE的中點，現將
沿AE折疊，使
（I）
求證：
面
（II）
求證：
面
（III） 求四棱錐D-ABCE的體積
20. （本小題滿分12分）
設函數
，已知它們的圖像在
處有相同的切線，
（I）
求函數和
的解析式
（II）
若函數
在區間
上是單調減函數，求實數
的取值范圍。
21. （本小題滿分12分）
將
個數排成
行列的一個數陣：
已知
，該數列第一列的個數從上到下構成以為公差的等差數列，每一行的個數從左到右構成以為公比的等比數列，其中為正實數。
（I）
求第行第
列的數
；
（II）
求這個數的和。
22. （本小題滿分14分）
設橢圓
的左、右焦點分別為F1、F2，A是橢圓上的一點
，原點O到直線AF1的距離為
（I）
求橢圓的離心率
；
（II） 設Q1.Q2為橢圓上的兩個動點，以線段Q1Q2為直徑的圓恒過原點，過原點O作直線Q1Q2的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程。
一、1――12 DBDCD CABAC DD
二、13.810 14. 6 15. 420 16. 
三、解答題
17.解（I）由
，得
由
，得
又
所以
（II）由正弦定理得
所以
的面積
18.解：
（I）
有
6中情況
所以函數
有零點的概率為
（II）對稱軸
，則
函數在區間
上是增函數的概率為
19.解：（I）證明：由已知得：
（II）證明：取AB中點H,連結GH,FH，
(由線線平行證明亦可)
（III）
20.解（I）
（II）
若
時，
是減函數，則
恒成立，得
（若用
，則必須求導得最值）
21.解：（I）由
，得
解得
或
（舍去）
（II）
22.（I）由題設
，及
，
不妨設點
，其中
，于點A 在橢圓上，有
，即
，解得
，得
直線AF1的方程為
，整理得
由題設，原點O到直線AF1的距離為
，即
將
代入上式并化簡得
，得
（II）設點D的坐標為
當
時，由
知，直線
的斜率為
，所以直線的方程為
或
，其中，
點
，的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得
整理得
于是
由①式得
由
知
，將③式和④式代入得
將代入上式，整理得
當
時，直線的方程為
，的坐標滿足方程組
，所以
，由知，
即
，解得
，這時，點D的坐標仍滿足
綜上，點D的軌跡方程為
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