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1．設0＜θ＜π，a∈R, ，則θ的值為（       ）

A．                       B．                    C．                      D．

2．若f(x)=lgx+1,則它的反函數的圖象是（     ）

3． 函數的定義域為（       ）

   A．(－1, 2)                      B．(－1,0)∪(0, 2)    C．(－1,0)            D．(0, 2)    

4．設函數f(x)=tan (ωx+φ)，(ω＞0),條件P：“f(0)=0”；條件Q：“ f(x)為奇函數”，則P是Q的（         )

A.充要條件                                      B.充分不必要條件               

C.必要不充分條件                               D.既不充分也不必要條件

5． 非零向量=(sinθ,2), =(cosθ,1), 若與共線，則tan(θ－)=

A．3         B －3          C．         D．－

6．過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關于對稱時，則直線之間的夾角為（     ）

 A．                 B.                      C.               D.

7．下列命題中正確命題的個數是(      )

①過空間任意一點有且僅有一個平面與已知平面垂直;

②過空間任意一條直線有且僅有一個平面與已知平面垂直;

③過空間任意一點有且僅有一個平面與已知的兩條異面直線平行;

④過空間任意一點有且僅有一條直線與已知平面垂直;

A. 1                            B. 2                         C. 3                    D. 4

8．如果關于x的一元二次方程中，a、b分別是兩次投擲骰子所得的點數，則該二次方程有兩個正根的概率P= （       ）

A．                          B．                      C．                     D．

9．將正方體的六個面染色，有4種不同的顏色可供選擇，要求相鄰的兩個面不能染同一顏色，則不同的染色方法有（         ）

   A．256種           B．144種               C．120種             D．96種

10． 已知雙曲線的方程為：，直線的的方程為：，過雙曲線的右焦點的直線與雙曲線的右支相交于，以為直徑的圓與直線相交于，記劣弧    的長度為，則的值為（     ）

A．                                                        B．                          C．                  D．與直線的位置有關

11．若的展開式中第三項為，則          .

12．已知矩形中，沿將矩形折成一個二面角則四面體的外接球的表面積為          .

13．已知點滿足，且點，則（是坐標原點）的最大值等于         .

14．設三個正態分布、

和N()（＞0）的密度函數圖象如圖所示，則

μ₁，μ₂，μ₃按從小到大的順序排列是                  ；

σ₁，σ₂，σ₃按從小到大的順序排列是                  .

15．如圖，以、為頂點作正，

再以和的中點為頂點作正，

再以和的中點為頂點作正，…，

如此繼續下去．有如下結論：

①所作的正三角形的邊長構成公比為的等比數列；

②每一個正三角形都有一個頂點在直線（）上；

③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點

的坐標是；

④第n個正三角形的不在第n－1個正三角形邊上的頂點的橫坐標是，則．

其中正確結論的序號是                （把你認為正確結論的序號都填上）．

16．(本小題滿分12分)

已知向量=(cos x, 0),=(0,sin x),記函數f(x)=(+)²+sin 2x,

(1)求函數f(x)的最小值及取最小值時的集合；

(2) 若將函數的圖象按向量平移后，得到的圖象關于坐標原點中心對稱且在[0,]上單調遞減，求長度最小的.

17．(本小題滿分12分)

一個口袋中裝有大小相同的個紅球（≥5且）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎.

(1)記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為.試問當n等于多少時，的值最大？

(2)在(1)的條件下，將5個白球全部取出后，對剩下的n個紅球全部作如下標記：記上i號的有i個（i=1,2,3,4），其余的紅球記上0號，現從袋中任取一球.ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列，期望和方差.

18．(本小題滿分12分)

如圖：D、E分別是正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中點，且棱AA₁=8，AB=4，

(1)求證：A₁E∥平面BDC₁

(2)在棱AA₁上是否存在一點M，使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°，若存在，求AM的長，若不存在，說明理由.

19．(本小題滿分12分)

已知函數f(x)=xln x

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若為正常數，設g(x)= f(x)+ f(k－x)，求函數g(x)的最小值；

(3)若a＞0,b＞0證明：f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)

20．(本小題滿分13分)

設分別為橢圓 的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線.

(1)求橢圓的方程；

(2)設點為橢圓上不同于的一個動點，直線與橢圓右準線相交于兩點，證明：以為直徑的圓必過橢圓外的一個定點

21．(本小題滿分14分)

已知函數f(x)=x²－x+2, 數列滿足遞推關系式：a_n+1=f(a_n)，，且.

(1)求a₂,a₃,a₄的值；

(2)用數學歸納法證明：當n≥5時，a_n＜2－；

(3)證明：當時，有.

參   考   答   案

1.    2. A     3. C   4 . B     5.     6. C   7. A    8. A     9. D  10. B

11. －2   12. 100π   13.    14. μ₂＜μ₁＜μ₃ ； σ₁＜σ₃＜σ₂（第一空3分，第二空2分）

15. ①②③④

16.(1) ∵f(x)=(+)²+sin 2x=3cos²x+sin²x+sin2x=2cos(2x－)+2       …3分

     ∴f(x)≥0,當且僅當2x－=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z時取到等號.

    ∴ 函數f(x)的最小值是0，此時x的集合是{x | x=kπ+，k∈Z}         …6分

  (2) 設=(m,n)，函數f(x) 的圖象平移后對應的函數為g(x)，則g(x)= 2cos[2(x－m)－]+2+n

  由題意函數g(x)的圖象關于坐標原點中心對稱，得

cos[2(0－m)－]=0，且2+n=0，解得m=kπ+，k∈Z，且n=－2             …8分

①當m= kπ+， k∈Z時，g(x)= 2cos(2x－)=2sin 2x，在[0,]上單調遞增，不符合題意，舍去；

②當m= kπ+，k∈Z時，g(x)= 2cos(2x+)=－2sin 2x，在[0,]上單調遞減，符合題意. …10分

∴=( kπ+,－2)，k∈Z          【若求出的結果是（kπ+，－2），給10分】

∴長度最小的=( －,－2)                                            …12分

17．(1)一次摸獎從個球中任取兩個，有種方法。它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，一次摸獎中獎的概率        ……2分                       

設每次摸獎中獎的概率為p，三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是，因而在上為增函數,在上為減函數， ……4分

（用重要不等式確定p值的參照給分）

∴當時取得最大值，即，解得或（舍去），則當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大.         …6分

(2)由(1)可知：記上0號的有10個紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的故ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

4

P

…8分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=                                      …10分

Dξ=(0－)²×+(1－)²×+(2－)²×+(3－)²×+(4－)²× =       …12分

18．【方法一】(1)證明：在線段BC₁上取中點F，連結EF、DF

則由題意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，

∴四邊形EFDA₁是平行四邊形

∴A₁E∥FD，又A₁E平面BDC₁，FD平面BDC₁

∴A₁E∥平面BDC₁                              …6分

(2)由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，過點E作

EH⊥BC₁于H，連結A₁H，則∠A₁HE為二面角A₁－BC₁－B₁的平面角        …8分

在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁邊上的高為，∴EH=，

又A₁E=2,∴tan∠A₁HE==＞∴∠A₁HE＞60°，                    …11分

∴M在棱AA₁上時，二面角M－BC₁－B₁總大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°的點M.                                                    …12分

【方法二】建立如圖所示的空間直角坐標系，題意知B(－2,0,0),

D(2,40),A₁(2,8,0), C₁(0,8,2)，B₁(－2,8,0), E(－1,8,),

=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),

=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),

=(2,8, 2).                                                   

(1)證明：∵=2(+)∴A₁E∥平面BDC₁                                         …6分

(2)設=（x,y,1）為平面A₁BC₁的一個法向量，則，且，即解得∴=（,,1），同理，設=（x,y,1）為平面B₁BC₁的一個法向量，則，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－

∴二面角A₁－BC₁－B₁為arccos. 即arctan,又∵＞

∴二面角A₁－BC₁－B₁大于60°， ∴M在棱AA₁上時，二面角M－BC₁－B₁總大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小為60°的點M.                           …12分

19. (1)解：∵= ln x+1，解＞0，得x＞；解＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的單調遞增區間是(,+∞)，單調遞減區間是(0, ).                 …3分

(2) ∵g(x)= f(x)+ f(k－x)=x ln x+(k－x)ln(k－x),定義域是(0, k)

∴= ln x+1－[ln (k－x)+1]= ln                               …5分

由＞0，得＜x＜k，由＜0，得0＜x＜，

∴函數g(x)在(0, ) 上單調遞減；在(, k)上單調遞增，                …7分

故函數g(x)的最小值是：y_min=g()=kln.                             …8分

(3)∵a＞0,b＞0∴在(2)中取x=，k=2,可得f()+ f(2－)≥2ln1 f()+ f()≥0

ln+ln≥0alna+blnb+(a+b)ln2－(a+b)ln(a+b)≥0

 f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)                                   …12分

20．(1)由題意，知a=2c，=4，解得a=2,c=1,∴b=，故橢圓方程為 …5分

(2)設P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),則A(－2,0),B(2,0),

由A、P、M三點共線，得m=                                                                   …7分

由B、P、N三點共線，得n=,                                            …9分

以MN為直徑的圓的方程為(x－4)(x－4)+(y－)(y－)=0,

整理得：(x－4)²+y²－(+)y－9=0      …12分

解得(舍去)或

∴以為直徑的圓必過橢圓外的一個定點(7,0),命題成立.                   …13分

【由對稱性先猜出在x軸上存在符合要求的定點，再求出該點，結果正確的，給13分.】

21．(1)根據及計算易得       …3分

(2)證明：①，

而＞，故＜2－，即當時，結論成立.    …5分

②假設結論對成立，即.

因為≥，而函數在時為增函數，所以

，

即當時結論也成立.

綜合①、②可知，不等式對一切都成立.                  …9分

(3) 由可得，而，于是         …11分

于是當時，，故，所以.…14分

命題人：趙文耀  馮志勇      審題人：陳根成