題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）已知函數
（I）若函數
在區間
上存在極值，求實數a的取值范圍；
（II）當
時，不等式
恒成立，求實數k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域為
，則
令
，
則
，
當
時，
；當
時，
在（0，1）上單調遞增，在
上單調遞減，
即當時，函數取得極大值. （3分）
函數在區間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當時，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
在數列
中，
記
（Ⅰ）求
、
、
、
并推測
；
（Ⅱ）用數學歸納法證明你的結論.
【解析】第一問利用遞推關系可知，
、
、
、
，猜想可得
第二問中，①當
時，
=
，又，猜想正確
②假設當
時猜想成立，即
，
當
時，
=
=
，即當時猜想也成立
兩步驟得到。
（2）①當時，=，又，猜想正確
②假設當時猜想成立，即，
當時，
=
=，即當時猜想也成立
由①②可知，對于任何正整數
都有成立
（本小題滿分14分）
已知函數
和
的圖象在
處的切線互相平行.
(1) 求
的值；（4分）
（2）設
，當
時，
恒成立，求
的取值范圍. （10分）
已知常數
且
，數列
前
項和
數列
滿足
且
（1）求證：數列是等比數列
（2）若對于區間
上的任意實數
，總存在不小于2的自然數
，當
時，
恒成立，求的最小值
已知函數
和函
的圖像在
處的切線互相平行.
（1）求
的值；
（2）設
，當
時，
恒成立，求
的取值范圍.
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