Question

【題目】已知，，圓上的動點T滿足：線段TQ的垂直平分線與線段TP相交于點K．

Ⅰ求點K的軌跡C的方程；

Ⅱ經過點的斜率之積為的兩條直線，分別與曲線C相交于M，N兩點，試判斷直線MN是否經過定點若是，則求出定點坐標；若否，則說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 經過定點.

【解析】

Ⅰ利用橢圓的定義即可得出k的軌跡方程；Ⅱ設直線AM的方程為，代入橢圓方程消元，得出M，N坐標的關系，求出MN的方程，即可求出點的坐標．

Ⅰ，

點K的軌跡是以P，Q為焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，

點K的軌跡方程為：，

Ⅱ設直線AM的斜率為k，則直線AM的方程為，

聯立可得，整理，可得，

則，則，代入，可得，

，

同理可得，

當M，N的橫坐標不相等時，直線MN的斜率，

故直線MN的方程為，

令，可得，

此時直線MN經過點，

當M，N的橫坐標相等時，有，解得，

此時點M，N的橫坐標為，

此時直線MN經過點，

綜上所述直線MN經過點