Question

【題目】已知直線與圓C：相交，截得的弦長為.

（1）求圓C的方程；

（2）過原點O作圓C的兩條切線，與函數的圖象相交于M、N兩點（異于原點），證明：直線與圓C相切；

（3）若函數圖象上任意三個不同的點P、Q、R，且滿足直線和都與圓C相切，判斷線與圓C的位置關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）直線與圓C相切；證明見解析；

【解析】

（1）化圓方程為標準方程，得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離，用表示出弦長，從而求得，得圓方程；

（2）求出過原點的圓的兩條切線方程，然后求得兩條切線與拋物線的交點坐標后可得證；

（3）設，，，由此寫出直線的方程，由直線與圓相切得出的關系，可得；，然后可證直線也與圓相切．

（1）解：圓C：，可化為圓，

圓心到直線的距離，

∵截得的弦長為，

∴，

∴，

∴圓C的方程為；

（2）證明：設過原點O的切線方程為，即，

圓心到直線的距離，∴，

∴設過原點O的切線方程為，

與函數，聯立可得，∴與圓C相切；

（3）解：設，，，可得，

直線的方程為，即為，

同理可得，直線的方程為，

直線的方程為，

∵直線和都與圓C相切，

∴，，即為，

，即有b，c為方程的兩根，

可得；，

由圓心到直線的距離為，

則直線與圓C相切.