Question

【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第個圖形包含個小正方形.

（1）求出，，，并猜測的表達式；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先通過前4個圖形的變化規律得到出，，，，再利用累加法推導的表達式；（2）先化簡，再利用裂項抵消法進行求和，再利用放縮法進行證明.

(1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式規律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，

f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，

… …

f(2)－f(1)＝4×1，

∴ f(n)－f(1)＝4×[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，

∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，

又n＝1時，f(1)也適合f(n)．

∴ f(n)＝2n2－2n＋1

(2)當n≥2時，＝＝，

∴

=1＋

=1＋＝－

∴＋＋＋…＋ ．