Question

【題目】已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為．

（）若直線(xiàn)的斜率為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；（2）或

【解析】試題分析：（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，由條件可得，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）由題意可得當(dāng)函數(shù)在遞增（或遞減），即有或）對(duì)成立，只要在上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，討論區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范圍.

試題解析：（）由得，

若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，

則，

∴， ，

令，得或；

令，得，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．

（）①當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)， 對(duì)成立，

即對(duì)成立，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要，

解得，

又，所以；

②當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)， 對(duì)成立，

只需在上的最小值大于等于即可，

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，

當(dāng)時(shí)， 在上的最小值為，

∴，解得或，

此種情形不成立；

當(dāng)時(shí)， 在上的最小值為，

∴，解得；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．