Question

【題目】已知函數.

（1）若函數，試研究函數的極值情況；

（2）記函數在區間內的零點為，記，若在區間內有兩個不等實根，證明：.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

試題分析：（1）由求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間，根據單調性可得函數的極值情況；（2）先證明，即在區間內單調遞增，根據零點存在性定理， 存在

，使得，可得以，要證，只需證，即，記，其中，利用導數可證明單調遞增，故當時，，即可得，進而可得結果.

試題解析：（1）由題意，得，

故，

故，

.

令，得

①當時，，

或；

,

所以在處取極大值，

在處取極小值.

②當時，，恒成立，所以不存在極值；

③當時，，或；

,

所以在處取極大值，

在處取極小值.

綜上，當時，在處取極大值，在處取極小值；當時，不存在極值；時，在處取極大值，在處取極小值.

（2），定義域為，

，而，

故，即在區間內單調遞增

又，，

且在區間內的圖象連續不斷，

故根據零點存在性定理，有在區間內有且僅有唯一零點.

所以存在，使得，

且當時，；

當時，，

所以

當時，，

由得單調遞增；

當當時，，

由得單調遞減；

若在區間內有兩個不等實根（）

則.

要證，即證

又，而在區間內單調遞減，

故可證，

又由，

即證，

即

記，其中

記，則，

當時，；

當時，，

故

而，故，

而，

所以，

因此，

即單調遞增，故當時，，

即，故，得證.