Question

【題目】已知圓與圓相外切，且與直線相切．

（1）記圓心的軌跡為曲線，求的方程；

（2）過點的兩條直線與曲線分別相交于點和，線段和的中點分別為.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線經過定點．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據拋物線定義可知圓心的軌跡為拋物線，進而可得其軌跡方程.

（2）由題意可設直線的斜率為，則直線的斜率為，表示出直線的方程，聯立直線與拋物線方程即可求得交點的坐標，進而以代替點坐標中的，可得點的坐標；即可表示出直線的斜率及其方程，進而得所過定點的坐標.

（1）依題意等于到直線的距離，

故所求軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線.

故其軌跡的方程為.

（2）依題意直線斜率都存在且均不為，

故設直線的斜率為，則直線的斜率為.

直線的方程為，

即為.

由消去整理得，

所以，點的坐標為，

以代替點坐標中的，可得點的坐標為，

所以直線的斜率，

所以直線的方程為，

即.

故經過定點.