Question

【題目】已知函數.

（1）討論的極值點的個數；

（2）設函數，，為曲線上任意兩個不同的點，設直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，極值點的個數為0；當時，的極值點的個數為1；當或時，的極值點個數為2.

（2）

【解析】

（1）函數求導得的根，對根進行討論得到函數單調區間從而求得極值.

（2）令，求出.等價轉換得，構造新函數求導轉化為不等式恒成立問題求解.

解：（1）函數的定義域為，

.

令，得或.

①當，即時，

在和上，，在上，，當時，取得極大值，當時，取得極小值，故有兩個極值點；

②當，即時，

在和上，，在上，，同上可知有兩個極值點；

③當，即時，

，在上單調遞增，無極值點；

④當，即時，

在上，，在上，，當時，取得極小值，無極大值，故只有一個極值點.

綜上，當時，極值點的個數為0；當時，的極值點的個數為1；當或時，的極值點個數為2.

（2）令，則，設，，，則.

不妨設，則由恒成立，可得恒成立.

令，則在上單調遞增，所以在上恒成立，即恒成立.

則恒成立，即恒成立.

又，所以恒成立，則，

因為，所以，

解得，即的取值范圍為.