Question

【題目】橢圓的焦距是，長軸長是短軸長3倍，任作斜率為的直線與橢圓交于兩點（如圖所示），且點在直線的左上方.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求的面積；

（3）證明：的內切圓的圓心在一條定直線上。

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）的內切圓的圓心在一條定直線上

【解析】

（1）由題意求出橢圓方程中的，得解；

（2）分別利用弦長公式及點到直線的距離公式求出三角形的底與高，再利用三角形面積公式求解即可；

（3）先證明，從而可得的角平分線平行軸，從而可證的內切圓的圓心在一條定直線上.

解：（1）由題意知：，得，又，

所以，

故橢圓的方程為：；

（2）設直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，

設，,則，

所以 ，

又，解得或，

由題意可得，

故所在直線方程為，即，

所以點到直線的距離，

故的面積為；

（3）設直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，

設，,則，

所以=，

又

，

即 ，所以的角平分線平行軸，

故的內切圓的圓心在一條定直線上.