【題目】已知函數
，其中e是自然對數的底數.
（1）若
，證明：
；
（2）若
時，都有
，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）當
時，
，利用導數求出函數
的單調區間并求出最小值，即可證明
；
（2）令
，由
時，都有
，可得
在
上恒成立，利用導數判斷
在的單調性，分別討論
和
兩種情況，即可得到
的取值范圍.
（1）由題意，當時，，
所以
，當
時，
；
當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
所以在時取得極小值，也是最小值.
所以
.
（2）令
，，
由時，都有，所以在上恒成立.
由
，令
，
則
在上恒成立.
所以
在上單調遞增，又
，
①當時，
，
所以
在上單調遞增，
所以
，即，滿足題意.
②當時，因為在上單調遞增，
所以
，
存在
，使得當
時，
，在
上單調遞減，
所以當時，
，這與在上恒成立矛盾.
綜上所述，，即實數a的取值范圍
.
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
：
的離心率
，其左焦點
到此雙曲線漸近線的距離為
.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過點
的直線
交雙曲線于
兩點，且以為直徑的圓
過原點
，求圓的圓心到拋物線
的準線的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
（1）當a=2時，求證：﹣3≤f(x)≤3；
（2）若關于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】十項全能是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，按照國際田徑聯合會制定的田徑運動全能評分表計分，然后將各個單項的得分相加，總分多者為優勝．下面是某次全能比賽中甲、乙兩名運動員的各個單項得分的雷達圖．
下列說法錯誤的是（ ）
A.在100米項目中，甲的得分比乙高
B.在跳高和標槍項目中，甲、乙的得分基本相同
C.甲的各項得分比乙更均衡
D.甲的總分高于乙的總分
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某外賣平臺為提高外賣配送效率，針對外賣配送業務提出了兩種新的配送方案，為比較兩種配送方案的效率，共選取50名外賣騎手，并將他們隨機分成兩組，每組25人，第一組騎手用甲配送方案，第二組騎手用乙配送方案.根據騎手在相同時間內完成配送訂單的數量（單位：單）繪制了如下莖葉圖：
（1）根據莖葉圖，求各組內25位騎手完成訂單數的中位數，已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數的平均數為52，結合中位數與平均數判斷哪種配送方案的效率更高，并說明理由；
（2）設所有50名騎手在相同時間內完成訂單數的平均數
，將完成訂單數超過記為“優秀”，不超過記為“一般”，然后將騎手的對應人數填入下面列聯表；
優秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
（3）根據（2）中的列聯表，判斷能否有
的把握認為兩種配送方案的效率有差異.
附：
，其中
.
| 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面為菱形，
，
．平面
平面
，
，
，
分別是
，
的中點．
（1）求證：
//平面
；
（2）若直線
與平面所成的角為
，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
與圓
相外切，且與直線
相切．
（1）記圓心的軌跡為曲線
，求的方程；
（2）過點
的兩條直線
與曲線分別相交于點
和
，線段
和
的中點分別為
.如果直線
與
的斜率之積等于1，求證：直線
經過定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平行四邊形
中，
，
，
為邊
的中點，將
沿直線
翻折成
，設
為線段
的中點．則在翻折過程中，給出如下結論：
①當
不在平面內時，
平面
；
②存在某個位置，使得
；
③線段
的長是定值；
④當三棱錐
體積最大時，其外接球的表面積為
．
其中，所有正確結論的序號是______．（請將所有正確結論的序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為助力湖北新冠疫情后的經濟復蘇，某電商平臺為某工廠的產品開設直播帶貨專場.為了對該產品進行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數據：
單價 | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量 | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
（1）根據以上數據，求
關于
的線性回歸方程；
（2）若該產品成本是4元/件，假設該產品全部賣出，預測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤?
（參考公式：回歸方程
，其中
）
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