Question

【題目】已知函數．

（1）若在單調遞增，求的值；

（2）當時，設函數的最小值為，求函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）對函數進行求導得，由在單調遞增，得，即 ，利用分析法，對進行分類討論，即可得答案；

（2）利用隱零點法求出函數最小值為，得，利用導數研究函數令，的值域，即可得答案；

（1）．

因為在單調遞增，所以，即

（i）當時，，則需，故，即；

（ii）當時，，則；

（iii）當時，，則需，故，即．

綜上述，．

（2）．

因為，所以，所以在單調遞增

又因為，

所以存在，使，

且當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增．

故最小值為．

由，得，因此．

令，則，

所以在區間上單調遞增．

又因為，且，

所以，即取遍的每一個值,

令，

則，

故函數在單調遞增．

又，所以，故函數的值域為．