Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，前n項和S_n滿足a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若b_n=2log₂a_n，對一切n∈N^*，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜t恒成立，求實數(shù)t的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，建立方程組即可求出求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求出b_n=2log₂a_n的通項公式，利用裂項法求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和Sn，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由a_n+1=S_n+2，得到a_n=S_n-1+2，n≥2，
相減得：a_n+1=2a_n，
又a₁=2，a₂=4，有a₂=2a₁，
所以數(shù)列{a_n}是首項a₁=2，公比為2的等比數(shù)列，
故a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=2log₂a_n=2log₂2ⁿ=2n，
得到：

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
故，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

4

[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

]=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，
∴要使，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜t恒成立，
則t≥

1

4

，
故t的最小值為

1

4

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列前n項和Sn的計算，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．