Question

設

OA

=（5，1），

OB

=（1，7），

OC

=（4，2），且

OM

=t

OC

（1）是否存在實數t，使

MA

⊥

MB

？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由．
（2）求使

MA

•

MB

取最小值點M的坐標．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：平面向量及應用

分析：（1）

MA

⊥

MB

，就得到

MA

•

MB

=0，∴根據條件分別求出

MA

，

MB

的坐標，帶入

MA

•

MB

=0進行數量積的坐標運算，看能不能求出t即可．
（2）利用上步求出的

MA

•

MB

，得到關于t的一個式子，可以看成關于t的函數，求使函數取最小值的t即可．

解答： 解：（1）

OM

=(4t，2t)，若

MA

⊥

MB

，則

MA

•

MB

=0；
∵

MA

=

OA

-

OM

=（5-4t，1-2t），

MB

=

OB

-

OM

=（1-4t，7-2t）；
∴（5-4t）（1-4t）+（1-2t）（7-2t）=0，即5t²-10t+3=0；
∴t=

5± 10

5

．
（2）

MA

•

MB

=20t2-40t+12=20(t-1)2-8；
∴t=1時，

MA

•

MB

取最小值，此時M（4，2）．

點評：考查的知識點為：向量坐標的減法運算，數量積的坐標運算，向量垂直與數量積的關系，二次函數最值．注意對二次函數進行配方求最值及此時的自變量值．