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如圖,三角形ABC中AB=3,AC=6,∠BAC=60°,D為BC中點,E為中線AD的中點.
(1)試用向量
AB
AC
表示
AD

(2)求中線AD的長;
(3)求
BE
AD
所成角θ的余弦值.
考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:計算題,平面向量及應用
分析:(1)根據(jù)題意,利用向量的加法法則,得出
AD

(2)求出|
AD
|
2
的值,即得|
AD
|的長;
(3)由
BE
AD
,利用平面向量的數(shù)量積求出夾角θ的余弦值.
解答: 解:(1)根據(jù)題意,得
AD
=
1
2
AB
+
AC
);…(2分)
(2)∵|
AD
|
2
=
AD
2
=
1
4
(
AB
+
AC
)
2

=
1
4
AB
2
+2
AB
AC
+
AC
2
)…(4分)
=
1
4
(32+2×3×6×cos60°+62
=
63
4
,…(5分)
∴|
AD
|=
3
7
2
;…(6分)
(3)∵
BE
=
BA
+
AE
=-
AB
+
1
2
AD

=-
AB
+
1
4
AB
+
1
4
AC

=-
3
4
AB
+
1
4
AC
,…(7分)
|
BE
|
2
=(-
3
4
AB
+
1
4
AC
)
2

=
9
16
AB
2
-2×
3
4
×
1
4
AB
AC
+
1
16
AC
2

=
81
16
-
3
8
×3×6×
1
2
+
36
16

=
81-54+36
16
=
63
16
,…(8分)
∴|
BE
|=
3
7
4
;…(9分)
∴cosθ=
BE
AD
|
BE
|×|
AD
|

=
(-
3
4
AB
+
1
4
AC
)•
1
2
(
AB
+
AC
)
3
4
7
×
3
2
7

=
1
2
(-
3
4
×9+
1
4
×36-
1
2
×3×6×
1
2
)
9×7
8

=
1
2
×
-27+36-18
4
9×7
8

=
-9
9×7
=-
1
7
.…(10分)
點評:本題考查了平面向量的應用問題,解題時應結(jié)合圖形,利用平面向量的線性運算法則和平面向量的數(shù)量積,求模長與夾角,是計算題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在等腰三角形ABC中,底邊BC=2,
AD
=
DC
,2
AE
=3
EB
,若
BD
AC
=-
1
2
,則
CE
AB
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

當0<x<1時,f(x)=
x
lgx
,則下列大小關系正確的是(  )
A、f2(x)<f(x2)<f(x)
B、f(x2)<f2(x)<f(x)
C、f(x)<f(x2)<f2(x)
D、f(x2)<f(x)<f2(x)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在實數(shù)的原有運算法則中,我們補充定義新運算a?b,運算原理如圖所示,則函數(shù)f(x)=(tan
4
?x)•x-(lg100?x)(x∈[-2,2])的最大值等于(“•”和“-”仍為通常的乘法和減法)(  )
A、-1B、1C、6D、12

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點,E是線段AB上的點.
(1)當E是AB的中點時,求證:AF∥平面PCE
(2)無論E點在線段AB上哪個位置,棱錐C-PDE的體積是否是一個定值?如果是,請求出棱錐C-PDE的體積;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知p,q都是r的必要條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,那么
(1)s是q的什么條件?
(2)r是q的什么條件?
(3)p是q的什么條件?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項a1=2,前n項和Sn滿足an+1=Sn+2(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式
(2)若bn=2log2an,對一切n∈N*
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1
<t恒成立,求實數(shù)t的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,江邊有一座高為30m的瞭望塔AB,江中有兩條船C、D,由塔頂A測得兩船C、D的俯角分別為45°和30°,而且兩條船C、D與塔底部B連線所成的∠CBD大小為30°,求兩條船C、D間的距離為多少米?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中點,△A1MC1是等腰三角形,D為CC1的中點,E為BC上一點.
(1)若DE∥平面A1MC1,求
CE
EB

(2)平面A1MC1將三棱柱ABC-A1B1C1分成兩個部分,求較小部分與較大部分的體積之比.

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