Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，CD⊥平面PAD，PA⊥AD，PA=2，E分別PC的中點，點P在棱PA上．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求三棱錐E-BDF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接EO，證明EO⊥平面ABCD，可得EO⊥AC，利用AC⊥BD，證明AC⊥平面BED，即可證明AC⊥DE；
（Ⅱ）證明AO即為點F與平面BED的距離，利用V_E-BDF=V_F-BDE，即可求三棱錐E-BDF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接EO，
因為PC的中點，所以EO∥AP，
因為CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PAD，
因為平面ABCD∩平面PAD=AD，PA⊥AD，
所以PA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，…（4分）
所以EO⊥AC，
又AC⊥BD，
所以AC⊥平面BED，
因為ED?平面BED，
所以AC⊥DE．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EO∥AP，EO?平面BED，
所以AP∥平面BED，
又AC⊥平面BED，
所以AO即為點F與平面BED的距離，AO=

2

2

，
而S_△BED=

1

2

BD×EO=

2

2

，…（10分）
V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

…（12分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查錐體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．