Question

一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，k為比例常數(shù)．已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其它與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和為最小？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)題意建立相應(yīng)的函數(shù)模型是解決本題的關(guān)鍵．建立起函數(shù)的模型之后，根據(jù)函數(shù)的類型選擇合適的方法求解相應(yīng)的最值問(wèn)題，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用．

解答： 解：設(shè)船速度為x（x＞0）時(shí)，燃料費(fèi)用為Q元，則Q=kx³，
由6=k×10³可得，k=

3

500

，
∴Q=

3

500

 x3，
∴總費(fèi)用y=(

3

500

x3+96)•

1

x

=

3

500

x2+

96

x

，
∴y′=

6

500

x-

96

x2

，
令y′=0得x=20，
當(dāng)x∈（0，20）時(shí)，y′＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（20，+∞）時(shí)，y′＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=20時(shí)，y取得最小值．
答：此輪船以20公里/小時(shí)的速度使行駛每公里的費(fèi)用總和最小．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的思想和方法．建立起函數(shù)模型之后選擇導(dǎo)數(shù)作為工具求解該最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．