Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過（0，1），（1，

2

2

）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S（0，-

1

3

）且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)D，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由已知條件得

n=1 m+ 1 2 n=1

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過（0，1），（1，

2

2

），
∴設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∴

n=1 m+ 1 2 n=1

，解得m=

1

2

，n=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=-

16

9(2k2+1)

，
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，
則

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)，

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）
=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=（k²+1）x₁x₂-k（

1

3

+m）（x₁+x₂）+m²+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)•

4k

3(2k2+1)

+m²+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

，
由假設(shè)得對(duì)于任意的k∈R，

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+m-15=0

，
解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．