Question

求證：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一條直線上，且G分

HS

得比為2：1．

Answer 1

考點：三角形五心

專題：平面向量及應用

分析：分析：根據題意作出圖形，由外心和垂心的性質證明四邊形AHCD是平行四邊形，由向量加法的三角形法則得

SH

=

SA

+

AH

，由向量相等和向量的減法運算進行轉化，得到

SA

+

SB

+

SC

=

SH

，再根據△ABC重心為G滿足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，結合已知中

SA

+

SB

+

SC

=

SH

，我們易判斷出

SH

=3

SG

，根據數乘向量的幾何意義，即可得到S，G，H三點共線，且G分

HS

得比為2：1．

解答： 解：如圖：作直徑BD，連接DA、DC，

由圖得，

SB

=-

SD

，
∵H為△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD為直徑，
∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四邊形AHCD是平行四邊形，
∴

AH

=

DC

，
又∵

DC

=

SC

-

SD

=

SC

+

SB

，
∴

SH

=

SA

+

AH

=

SA

+

DC

=

SA

+

SB

+

SC

，
又∵G為△ABC的重心
∴

GA

+

GB

+

GC

=（

GS

+

SA

）+（

GS

+

SB

）+（

GS

+

SC

）=3

GS

+

SA

+

SB

+

SC

=3

GS

+

SH

=

0

，
即

SH

=3

SG

，
即S，G，H三點共線，且SH=3SG
即S，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．
從而得到：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一條直線上，且G分

HS

得比為2：1．

點評：本題考查的知識點是三角形的五心，其中熟練掌握向量五心的向量表達式形式，如（1）中△ABC外心為O滿足|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，（2）中△ABC重心為G滿足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，是解答此類問題的關鍵．