Question

設函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+（a-1）x，
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程；
（2）當a為何值時，函數y=f（x）有極值？并求出極大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，k=f′（0）=0，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程y=0；
（2）顯然，當a-1≠1時，即 a≠2時函數有極值，通過討論①當a＜2時，即a-1＜1時②當a＞2時，即a-1＞1時的函數的單調性，從而找到函數的極大值．

解答： 解：f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]
（1）當a=1時，k=f′（0）=0，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程y=0；
（2）顯然，當a-1≠1時，即 a≠2時函數有極值．
①當a＜2時，即a-1＜1時，有

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

此時，函數函數y=f（x）極大值為f（a-1）=

4-a

6

（a-1）²．
②當a＞2時，即a-1＞1時，有

x	（-∞，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

此時，函數y=f（x）極大值為f（1）=

a

2

-

2

3

．
綜上，函數y=f（x）極大值為f（x）_極大值=

4-a 6 (a-1)2，  (a＜2) a 2 - 2 3 ，           (a＞2)

．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，滲透了分類討論思想，是一道基礎題．