Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1與x=2處有極值．
（1）求函數f（x）的解析式；    
（2）求f（x）在[-2，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函數f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1與x=2處有極值，可知-1，2是f′（x）=0的兩個實數根，代入即可解出；
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．利用f′（x）=0，解得x=-1，2．列出表格：即可得出極值與區間端點的函數值，經過比較即可得出最值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1與x=2處有極值，
∴-1，2是f′（x）=0的兩個實數根，
∴

3-2a+b=0 12+4a+b=0

，解得

a=- 3 2 b=-6

．
∴f（x）=x3-

3

2

x2-6x+1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．
利用f′（x）=0，解得x=-1，2．
列出表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：當x=-1時，函數f（x）取得極大值，f（-1）=

9

2

；當x=2時，函數f（x）取得極小值，f（2）=-9．又f（-2）=-1，f（3）=-

7

2

．
可得：當x=-1時，函數f（x）取得最大值

9

2

；當x=2時，函數f（x）取得最小值-9．

點評：本題考查了利用導數研究閉區間上的連續函數的單調性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．