Question

已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)（定義域?yàn)镽且x≠0），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x，則滿足不等式xf（x）＞0的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先令x＜0，則-x＞0，根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求出f（x）的解析式；又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0兩種情況分別求出不等式xf（x）＞0的解集，最后求其并集即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0時(shí)，f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
∴f（x）=

log2x，x＞0 0，x=0 -log2(-x)，x＜0

；
①當(dāng)x＞0時(shí)，由xlog₂x＞0解得x＞1，
②當(dāng)x＜0時(shí)，由-xlog₂（-x）＞0解得x＜-1，
綜上，得x＞1或x＜-1，
故x的取值范圍為x＞1或x＜-1．
故答案為：x＞1或x＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性質(zhì)的運(yùn)用，考查了分段函數(shù)解析式的求法，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．