Question

數列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=（

1

5

）ⁿ（n∈N^*），S_n=a₁+5a₂+5²a₃+…+5^n-1a_n，則

6Sn-5nan

n

=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由S_n=a₁+5a₂+5²a₃+…+5^n-1a_n ①，可得5•s_n=5•a₁+5²a₂+5³a₃+…+5^n-1a_n-1+5ⁿa_n ②，兩式相加后，整理即可得答案．

解答： 解：由S_n=a₁+5a₂+5²a₃+…+5^n-1a_n ①
得5•s_n=5•a₁+5²a₂+5³a₃+…+5^n-1a_n-1+5ⁿa_n ②
①+②得：6s_n=a₁+5（a₁+a₂）+5²•（a₂+a₃）+…+5^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•5ⁿ
=a₁+5×

1

5

+5²×(

1

5

)2+…+5^n-1•(

1

5

)n-1+a_n•5ⁿ
=1+1+1+…+1+5ⁿ•a_n
=n+5ⁿ•a_n．
∴

6Sn-5nan

n

=

n

n

=1．
故答案為：1．

點評：本題考查數列的求和，由S_n=a₁+5a₂+5²a₃+…+5^n-1a_n ①，得到5•s_n=5•a₁+5²a₂+5³a₃+…+5^n-1a_n-1+5ⁿa_n ②，兩式相加是關鍵，考查轉化思想與觀察、運算能力，屬于難題．