Question

設定義在R上的函數f（x）=

1 |x-2|   (x≠2) 1   (x=2)

若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個不同的實根x₁，x₂，x₃滿足x₁＜x₂＜x₃，下列說法正確的是

 

（填序號）
①x₁²+x₂²+x₃²=14；
②二次函數g（t）=t²+at+b的圖象一定過某個定點；
③a²-4b=0；
④x₁，x₂，x₃一定成等差數列；
⑤x₁，x₂，x₃可能成等比數列．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：綜合題,數形結合法

分析：關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個解，則必然含有x=1這樣一個解，另外2個則在分段函數的另一段里面，剛好它是個絕對值函數，可以提供2個不同自變量時為同一值．既然含有x=1的解，此時f（1）=1，我們知道另外2個值也是1的肯定也能滿足方程，所以關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個不同實數解時，f（x）=1，從而可得結論．

解答： 解：分段函數的圖象如圖所示
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
∵

1

|x-2|

=1時，x=1或3
∴關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3個不同實數解時，
解分別是1，2，3，且x₁=1，x₂=2，x₃=3，
∴x₁²+x₂²+x₃²=1+4+9=14，x₁+x₃=4=2x₂，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0，
∴二次函數g（t）=t²+at+b的圖象一定過某個定點（1，0）．
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴正確的命題是①②③④
故答案為：①②③④．

點評：本題主要考查函數的零點與方程根的關系、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．