Question

【題目】正三棱柱的底面邊長是2，側棱長是4，是的中點.是中點，是中點，是中點，

（1）計算異面直線與所成角的余弦值

（2）求證：平面

（3）求證：面面

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由得 為所求異面直線所成的角（或其補角），然后計算余弦值；

（2）先證面面，再由面面平行性質得線面平行；

（3）由可證面面平行．

（1）如圖，連接，，

正三棱柱，分別是中點，則，，

∴平面，平面（正三棱柱的側面與底面垂直），

∴．∴為所求異面直線所成的角（或其補角）．

由已知，，，，

，

所以異面直線與所成角的余弦值為．

（2）由分別是中點，得，是平行四邊形，

∴，又平面，平面，

∴平面,

由（1），又平面，平面，

∴平面,

，平面，平面，

∴面面，

又面

∴面

（3）由是的中點.是中點，是中點，是中點，

得，，而，∴，

，面，∴面，

由（2），又平面，平面，

∴面，

又平面，平面，

∴平面平面．