Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，且，.

（1）求證：：

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）取的中點，連結，，，結合題意，可得，從而得到，在△中，可得，利用線面垂直的判定定理可得平面，從而證得；（2）利用，結合三棱錐的體積公式，求得結果.

（1）證明：取的中點，連結，，，

因為底面為菱形，，

所以．

因為為的中點，所以．

在△中，，為的中點，

所以．

因為，所以平面．

因為平面，所以．

（2）解法1：在△ 中，，所以．

因為底面是邊長為2的菱形，，所以．

在△中，，，，

因為，所以．

由（1）有，且，平面，平面，

所以平面．

在△中，由（1）證得，且，所以．

因為，所以．

在△中，，，

所以．

設點到平面的距離為，

因為，即．

所以．

所以點到平面的距離為．

解法2：因為，平面，平面，

所以平面．

所以點到平面的距離等于點到平面的距離．

過點作于點．

由（1）證得平面，且，

所以平面．

因為平面，所以 ．

因為，平面，平面，

所以平面．

在△ 中，，所以．

因為底面是邊長為2的菱形，，所以．

在△中，，，，

因為，所以．

在△中，根據等面積關系得．

所以．

所以點到平面的距離為．