Question

【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段，垂足為Q，點M是線段上的一點，且滿足

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)設直線與軌跡c交于兩點，T為C上異于的任意一點，直線，分別與直線交于兩點，以為直徑的圓是否過x軸上的定點？若過定點，求出符合條件的定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）利用相關點法，設設，，則點的坐標為，由，從而得到，即．化簡求得結果；

（2）設出點A,B的坐標，將直線與曲線的方程聯立，消元得到，根據韋達定理得到 =， =，設點，寫出直線AT的方程，進而求得點D的坐標，同理求得點E的坐標，如果以為直徑的圓過軸某一定點，則滿足，利用向量數量積坐標公式求得結果.

（1）設，，則點的坐標為．

因為，

所以，

即 ，

因為點在拋物線上，

所以，即．

所以點的軌跡的方程為．

（2）解法1：設直線與曲線的交點坐標為 ，，

由得．

由韋達定理得 =， =．

設點，則．

所以直線的方程為．

令，得點的坐標為．

同理可得點的坐標為．

如果以為直徑的圓過軸某一定點，則滿足．

因為 ．

所以．

即，解得或．

故以為直徑的圓過軸上的定點和．

解法2：直線與曲線的交點坐標為，，

若取，則，與直線的交點坐標為，，

所以以為直徑的圓的方程為．

該圓與軸的交點坐標為和．

所以符合題意的定點只能是或．

設直線與曲線的交點坐標為 ，，

由得．

由韋達定理得

設點，則．

所以直線的方程為．

令，得點的坐標為．

同理可得點的坐標為．

若點滿足要求，則滿足．

因為

．

所以點滿足題意．

同理可證點也滿足題意．

故以為直徑的圓過軸上的定點和．