Question

【題目】已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的重直平分線與半徑相交于點(diǎn)．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）給定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡相交于兩點(diǎn)（均不同于點(diǎn)）．證明：直線與直線的斜率之積為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及橢圓的定義，即可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）不過(guò)點(diǎn)，則斜率存在，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)而不解，利用韋達(dá)定理，將直線與直線的斜率之積表示出來(lái)并化簡(jiǎn)，證得定值.

解：（1）如圖，由已知，圓心，半徑．

∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則，又，

，又，

，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，從而，

故所求軌跡方程為．

（2）由已知，直線過(guò)點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn)，則斜率存在，

設(shè)，將其代入得

，則成立，

設(shè)，則，

顯然

設(shè)直線與直線的斜率分別為，則

，

即直線與直線的斜率之積為定值．