Question

【題目】已知橢圓：過點，且離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據題意得,再由離心率求出，進而得出，即可得到橢圓的方程．

（2）設直線的方程：，，，聯立直線與橢圓的方程得到關于的一元二次方程，由韋達定理可得，，的值和，即①，根據線段中點，寫出線段的垂直平分線的方程為，將點代入，得，代入①式即可得到的取值范圍．

（1）因為橢圓過點，

且離心率為，

所以橢圓的方程為：．

（2）設直線的方程：，，，

聯立直線與橢圓的方程聯立得：

.

整理得：①

，，

.

因為線段中點，

所以線段的垂直平分線的方程為，

又因為線段的垂直平分線過點，

所以，即，

所以，

代入①式得：，

整理得：，即

解得或，

所以的取值范圍為：．