Question

【題目】已知拋物線的頂點為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，焦點為圓的圓心.經(jīng)過點的直線交拋物線于兩點，交圓于兩點，在第一象限，在第四象限.

（1）求拋物線的方程；

（2）是否存在直線使是與的等差中項？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線E的方程為；（2）存在滿足要求的直線或直線.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得p，即得拋物線的方程；（2）由題意得，再根據(jù)條件得.設(shè)直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求，解出斜率k.

試題解析：（1）∵圓F的方程為，

∴圓心F的坐標(biāo)為（2，0），半徑r=1.

根據(jù)題意設(shè)拋物線E的方程為，

∴，解得p=4.

∴拋物線E的方程為.

（2） ∵是與的等差中項，

∴.

∴.

討論：

若垂直于x軸，則的方程為x=2，代入，解得.

此時|AD|=8，不滿足題意；

若不垂直于x軸，則設(shè)的斜率為k（k≠0），此時的方程為，

由，得.

設(shè)，則.

∵拋物線E的準(zhǔn)線方程為x=-2，

∴

∴，解得.

當(dāng)時，化為.

∵，∴有兩個不相等實數(shù)根.

∴滿足題意.

∴存在滿足要求的直線或直線.