Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（-3，4）．
（Ⅰ）求

a

+

b

與

a

-

b

的夾角；
（Ⅱ）若

a

⊥（

a

+λ

b

），求實數λ的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量的坐標運算

專題：平面向量及應用

分析：（I）利用向量的夾角公式即可得出；
（II）利用向量垂直與數量積的關系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（1，2），

b

=（-3，4），
∴

a

+

b

=（-2，6），

a

-

b

=（4，-2），
∴(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=-8-12=-20，
∴cos＜

a

+

b

，

a

-

b

＞=

( a + b )•( a - b )

| a + b | | a - b |

=

-20

40 • 20

=-

2

2

，
∴

a

+

b

與

a

-

b

的夾角為

3π

4

．
（Ⅱ）∵

a

⊥（

a

+λ

b

），∴

a

•(

a

+λ

b

)=0，
∴（1，2）•（1-3λ，2+4λ）=0，
化為1-3λ+4+8λ=0，解得λ=-1．

點評：本題考查了向量的夾角公式、向量垂直與數量積的關系，屬于基礎題．