Question

若正數項數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足

Sn+1

=

Sn

+1，其中首項a₁=1．
（1）求a₂，a₃及數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=

1

an•an+1

，T_n表示數列{b_n}的前項和，若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）分別令n=2、3代入式子求出求a₂、a₃，再變形得

Sn+1

-

Sn

=1得到等差數列，求出通項公式即可求出S_n，再利用S_n與a_n的關系式求出a_n；
（2）由（1）求出b_n并裂項，利用裂項相消法求出數列{b_n}的前項和T_n，代入λT_n＜n+8×（-1）ⁿ化簡，根據（-1）ⁿ分類討論，并分別利用基本不等式、數列的單調性求出式子的最小值，再求出λ的范圍．

解答： 解：（1）∵a₁=1，

Sn+1

=

Sn

+1，且a_n＞0，
令n=2得，

S2

=

S1

+1，解得a₃=3，
令n=3代入解得，a₅=5，
由題意可得

Sn+1

-

Sn

=1，
∴數列{

Sn

}是以1為首項和公差的等差數列，
∴

Sn

=1+(n-1)×1=n，則Sn=n2，
當n＞1時，
an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當n=1時，也適合上式，
故a_n=2n-1                     …6分
（2）由（1）得，bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由題意得，對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，
①當n為偶數時，則λ＜

(n+8)(2n+1)

n

對任意的n∈N^*恒成立，
∵

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17≥2

2n• 8 n

+17=25，
當且僅當2n=

8

n

時，即n=2時取等號，
此時λ滿足λ＜25，
②當n為偶數時，則λ＜

(n-8)(2n+1)

n

對任意的n∈N^*恒成立，
，∵

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15，且2n-

8

n

隨著n的增大而增大，
當n=1時，2n-

8

n

取最小值是-6，
此時λ滿足λ＜-21，
綜上得，實數λ的取值范圍是λ＜-21．

點評：本題考查了數列的前項和S_n與通項a_n的關系式，裂項相消法求數列的和，基本不等式求最值，以及恒成立問題轉化為求最值問題，考查了分類討論思想、轉化思想．