Question

如圖，幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ADEF為等腰梯形，AD∥EF，AD=2，AB=AF=1，∠DAF=60°．
（Ⅰ）證明：AF⊥平面CDF；
（Ⅱ）求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定，CD⊥AF，AF⊥DF，∴AF⊥平面CDF；
（Ⅱ）分割成兩個棱錐，VC-DEF=

1

3

S△DEF×CD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1=

3

12

，V_F-ABCD=

1

3

S_ABCD×d=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，然后求和．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ADEF，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF，∴CD⊥AF
又AD=2，AF=1，∠DAF=60°，
由余弦定理知DF=

3

，
∴AF²+DF²=AD²，∴AF⊥DF，
∵DF∩CD=D，
∴AF⊥平面CDF．（6分）
（Ⅱ）在等腰梯形ADEF中，EF=1，兩底間的距離d=

3

2

，VC-DEF=

1

3

S△DEF×CD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1=

3

12

，
V_F-ABCD=

1

3

S_ABCD×d=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，
∴V_ABCDEF=V_C-DEF+V_F-ABCD=

5 3

12

．（13分） （亦可將幾何體補成棱柱求解）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及著重考查了利棱錐的體積公式求組合幾何體的體積問題，考查空間想象能力、運算能力．