Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=0，其前n項和S_n滿足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1-3（n≥3）
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出an-an-1=2n-1-3(n≥3)，由此利用累加法能求出an=2n-3n+2(n∈N*)．
（2）用分組求和的方法可得Sn=2n+1-2-

n(3n-1)

2

．

解答： 解：（1）∵Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1-3(n≥3)，
∴(Sn-Sn-1)-(Sn-1-Sn-2)=2n-1-3，
∴an-an-1=2n-1-3(n≥3)，
a3-a2=22-3，
a4-a3=23-3，
…，
an-an-1=2n-1-3
這n-2個式子相加，得：
an-a2=22+23+…+2n-1-3(n-2)，又a₂=0
所以an=2n-3n+2(n≥3)．
經(jīng)驗證a₁和a₂也滿足該式，
故an=2n-3n+2(n∈N*)．
（2）∵an=2n-3n+2(n∈N*)，
∴S_n=2×

1-2n

1-2

-3×

n(n+1)

2

+2n
∴用分組求和的方法得Sn=2n+1-2-

n(3n-1)

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．