Question

已知橢圓P的中心O在坐標原點，焦點在x軸上，且經過點A（0，2

3

），離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓P的方程；
（Ⅱ）是否存在過點E（0，-4）的直線l交橢圓P于點R、T，且滿足

OR

•

OT

=8，若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設橢圓P的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由橢圓經過點A（0，2

3

），離心率為

1

2

，求得a和b的值，
從而求得橢圓P的方程．
（Ⅱ）由y=kx-4代入橢圓方程可得x₁+x₂和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂的值，根據

OR

•

OT

=8，求出k，從而得到直線l的方程．

解答： 解：（I）設橢圓P的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意得b=2

3

，

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴橢圓P的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．
（II）假設存在滿足題意的直線L．易知當直線的斜率不存在時，

OR

•

OT

＜0，不滿足題意．
故設直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．
∵

OR

•

OT

=8，∴x₁x₂+y₁y₂=8，
由y=kx-4代入橢圓方程可得（3+4k² ）x²-32kx+16=0，
由△=（-32k）²-4（3+4k²）×16＞0，
解得k²＞

1

4

①．
∴x₁+x₂=

32k

3+4k2

，x₁x₂=

16

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∴x₁x₂+y₁y₂=

16

3+4k2

-

48-48k2

3+4k2

=8
∴k²=

1

2

②，
由①、②解得 k=±

2

2

，∴直線l的方程為y=±

2

2

x-4，
故存在直線l：y=±

2

2

x-4滿足題意．

點評：本題考查求橢圓的標準方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關系，兩個向量的數量積公式，求出x₁•x₂和y₁•y₂ 的值，是解題的關鍵．