Question

已知在△ABC中，

a3+b3-c3

a+b-c

=c²，sinA•sinB=

3

4

，則△ABC一定是

 

．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：先把已知等式整理可求得a，b和c的關系，利用余弦定理求得C，通過兩角和公式求得cosAcosB的值，最后利用兩角和與差的余弦函數求得cos（A-B）=1，判斷出A=B，最終判斷出三角形的形狀．

解答： 解：∵

a3+b3-c3

a+b-c

=c²，
∴a³+b³-c³=ac²+bc²-c³，
（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，
∴a²+b²-ab=c²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

3

，
∵sinAsinB=

3

4

，cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-

1

2

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=

1

4

∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等邊三角形．
故答案為：等邊三角形．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，三角函數恒等變換的應用．解題的關鍵是找到角與角之間的關系．