Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓C上任意一點，且cos∠F₁PF₂的最小值為

1

3

．動圓x²+y²=t²（

2

＜t＜

3

）與橢圓C相交于A、B、C、D四點，則矩形ABCD面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的定義，在△PF₁F₂中利用余弦定理算出cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1||PF2|

-1．利用基本不等式算出|PF₁|•|PF₂|≤a²，結(jié)合a＞1得cos∠F₁PF₂≥1-

2

a2

，從而得到a²=3，進(jìn)而可得橢圓C的方程；設(shè)A（x₀，y₀），得矩形ABCD的面積S=4|x₀y₀|．利用橢圓方程化簡，可得S滿足：S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x₀²-

3

2

）²+24．再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，可得矩形ABCD的最大面積．

解答： 解：∵P是橢圓C上一點，∴|PF₁|+|PF₂|=2a．
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2，由余弦定理得cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1||PF2|

-1．
∵|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=a時等號成立．
∴由a＞1，可得cos∠F₁PF₂≥

4a2-4

2a2

-1=1-

2

a2

．
∵cos∠F₁PF₂的最小值為

1

3

，∴1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3．
又∵c=1，∴b²=a²-c²=2，可得橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
設(shè)A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S=4|x₀y₀|．
∴S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x₀²-

3

2

）²+24．
∵-

3

＜x₀＜

3

且x₀≠0，∴當(dāng)x₀²=

3

2

時，S²取得最大值24．
∴矩形ABCD的最大面積為2

6

．
故答案為：2

6

．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓方程并討論矩形面積的最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式等知識，屬于中檔題．