Question

在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2

3

，AC=4，D為PC的中點(diǎn)，PB⊥AD．
（1）證明：BC⊥AB；
（2）求二面角B-AD-C大小的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，AE，由已知條件得PB⊥平面ADE，從而BC⊥PB．由線面垂直得BC⊥PA，從而BC⊥平面PAB，由此能證明BC⊥AB．
（2）以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過A且平行行CB有直線為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AD-C大小的正切值．

解答： （1）證明：取PB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，AE，
∵AP=AB，AE⊥PB，又PB⊥AD，∴PB⊥平面ADE，
又DE?平面ADE，∴DE⊥PB，且平面PBC⊥平面ADE．
由BC∥DE，得BC⊥PB．
又PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩PB=P，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AB．
（2）解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過A且平行行CB有直線為x軸，
以AB為y軸，以AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AP=AB=2

3

，AC=4，D為PC的中點(diǎn)，
∴BC=

42-(2 3 )2

=2，
∴A（0，0，0），B（0，2

3

，0），C（-2，2

3

，0），
P（0，0，2

3

），D（-1，

3

，

3

），

AD

=(-1，

3

，

3

)，

AB

=(0，2

3

，0)，

AC

=(-2，2

3

，0)，
設(shè)平面BAD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AD =-x+ 3 y+ 3 z=0 n • AB =2 3 y=0

，
取z=

3

，得

n

=(3，0，

3

)，
設(shè)平面ADC的法向量

m

=(a，b，c)，

m • AD =-a+ 3 b+ 3 c=0 m • AC =-2a+2 3 b=0

，
取b=

3

，得

m

=(3，

3

，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

9

12 • 12

=

3

4

，
設(shè)二面角B-AD-C的平面角為θ，
則cosθ=

3

4

，tanθ=

7

3

．
∴二面角B-AD-C大小的正切值為

7

3

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．