Question

函數f（x）=cos³x+sin²x-cosx，在[0，2π）上的最大值為（　�。�

• A、

  4

  27

• B、

  8

  27

• C、

  16

  27

• D、

  32

  27

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：令cosx=t，由 x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²） （1-t），再利用導數研究函數的單調性，由函數的單調性求得函數的最值．

解答： 解：函數f（x）=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+1-cos²x-cosx=（1-cos²x） （1-cosx）．
令 cosx=t，∵x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²） （1-t），
∴g′（t）=3t²-2t-1．
令g′（t）=0，求得t=1，或t=-

1

3

．
再根據導數的符號可得g（t）的增區間為[-1，-

1

3

]，減區間為（-

1

3

 1]．
故當t=-

1

3

時，函數g（t）取得最大值為

32

27

，
故選：D．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，由函數的單調性求函數的最值，屬于基礎題．