Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左右頂點分別是，為直線上一點（點在軸的上方），直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.

（1）若的面積是的面積的，求直線的方程；

（2）設直線與直線的斜率分別為，求證：為定值；

（3）若的延長線交直線于點，求線段長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析（3）

【解析】

（1）的面積是的面積的，可得為的中點，求出C后可計算，即可寫出直線方程（2）設直線的方程，可聯立橢圓得C點坐標，進而得P點坐標，寫出PB方程得M坐標，即可求出，證明為定值（3）寫出，得CB直線方程，聯立得Q坐標，即可求出，利用均值不等式求最值.

（1） , ,即為的中點。

，代入橢圓方程得：

，直線方程為：

（2）由 得：

由得，

得，

得：

得：

.

（3）

得

，當且僅當時取最小值。