Question

【題目】設f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區間；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數單調遞增區間為，當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為； （Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出，然后討論當時，當時的兩種情況即得.

（Ⅱ）分以下情況討論：①當時，②當時，③當時，④當時，綜合即得.

試題解析：（Ⅰ）由

可得，

則，

當時，

時， ，函數單調遞增；

當時，

時， ，函數單調遞增，

時， ，函數單調遞減.

所以當時， 單調遞增區間為；

當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .

①當時， ， 單調遞減.

所以當時， ， 單調遞減.

當時， ， 單調遞增.

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

②當時， ，由(Ⅰ)知在內單調遞增，

可得當當時， ， 時， ，

所以在(0,1)內單調遞減，在內單調遞增，

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

③當時，即時， 在(0,1)內單調遞增，在內單調遞減，

所以當時， ， 單調遞減，不合題意.

④當時，即，當時， ， 單調遞增,

當時， ， 單調遞減，

所以f(x)在x=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實數a的取值范圍為.