Question

已知二次函數y=f（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，且y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x）-kx在區間（0，2）有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的形式及函數的最小值，設出f（x），求出g（x）的導函數，根據導函數是函數的斜率，列出方程，求出a，m的值．
（2）y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在區間（0，2）有兩個不同的零點，即x²+（2-k）x+1=0在區間
（0，2）有兩個不同根，根據根的存在條件列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）依題可設f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
則f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）∵y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在區間（0，2）有兩個不同的零點，
即x²+（2-k）x+1=0在在區間（0，2）有兩個不同根，
∴

f(0)＞0  f(2)＞0 0＜ k-2 2 ＜2

即

1＞0 2k+1＞0 0＜ k-2 2 ＜2

解得.2＜k＜6，
故實數k的取值范圍為（2，6）

點評：本題主要考查二次函數的頂點式、導數的幾何意義、函數零點與方程根的關系．主要考查基礎知識的綜合運用和學生的計算能力．