Question

已知f（x）=log_a

x-1

x+1

（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域．
（Ⅱ）證明函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）求使f（x）＞f（-2）成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據對數中的真數大于0，對于函數f（x）需要

x-1

x+1

＞0，解該不等式便得到定義域．
（Ⅱ）根據奇函數的定義，只需求f（-x），看它和f（x）的關系．
（Ⅲ）根據對數函數的單調性，會得到關于x的不等式，解不等式便得x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）解

x-1

x+1

＞0得：x＞1，或x＜-1；
函數f（x）的定義域是{x|x＞1，或x＜-1}．
（Ⅱ）∵f（-x）=loga

-x-1

-x+1

=loga

x+1

x-1

=loga(

x-1

x+1

)-1=-loga

x-1

x+1

；
∴f（-x）=-f（x）；
∴函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）若0＜a＜1，則由f（x）＞f（-2）得：loga

x-1

x+1

＞loga3；
0＜

x-1

x+1

＜3，解得x＜-2，或x＞1．
若a＞1，則由f（x）＞f（-2）得：

x-1

x+1

＞3，解得-2＜x＜-1．
∴使f（x）＞f（-2）成立的x的取值范圍是：當0＜a＜1時是：{x|x＜-2，或x＞1}；
當a＞1時是{x|-2＜x＜-1．

點評：理解真數的定義，奇函數的定義，對數函數的單調性，及熟練掌握對數的運算．