Question

直線l與球O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和.若二面角的平面角為150°,則球O的表面積為

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

試題分析：欲求球O的表面積，只需求出球O的半徑，根據(jù)題意OP長(zhǎng)即球O的半徑，再根據(jù)球心與截面圓圓心連線垂直截面圓，可考慮連接球心與兩個(gè)截面圓圓心，利用得到的圖形中的一些邊角關(guān)系，求出R，再利用球的表面積公式即可求出球O的表面積．
解：設(shè)平面α，β截球O的兩個(gè)截面圓的圓心分別為A，B，
連接PA，PB，與球交點(diǎn)為C,D根據(jù)題意在四邊形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，PA=1，PB=，那么小圓的直徑分別是2，和2，那么結(jié)合角∠APB=150°，運(yùn)用余弦定理得到得到為CD=2，而球的半徑就是三角形PAB的外接圓的半徑，則利用正弦定理可知為球的半徑為2，因此球的表面積為，故選C.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了球的截面圓的性質(zhì)，以及二面角的平面角的找法，綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到聯(lián)系．