Question

已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.

(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

（Ⅰ）由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，得到PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）.(Ⅲ) .

試題分析：（Ⅰ）連結AC、BD，設.
由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題條件，相關各點的坐標分別是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
所以


于是.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標是（0，－，0），， 
，設是平面QAD的一個法向量，由

得.
取x=1，得.
所以點P到平面QAD的距離.
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題解法較多，特別是求角及距離時，運用了“向量法”，實現了問題的有效轉化。對考生計算能力要求較高