Question

如圖,在三棱錐P -ABC中,點P在平面ABC上的射影D是AC的中點.BC ="2AC=8,AB" =

(I )證明：平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

Answer 1

(I) 通過證明AC⊥BC，進而證明BC⊥平面PAC，從而得證；
(II)

試題分析：
(Ⅰ)證明：點在平面上的射影是的中點，
PD⊥平面ABC,PD平面PAC
平面PAC⊥平面ABC                                                ……2分
BC＝2AC＝8，AB＝4
，故AC⊥BC                                     ……4分
又平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC
BC⊥平面PAC，又BC平面PBC
平面PBC⊥平面PAC                                              ……6分
(Ⅱ)如圖所示建立空間直角坐標系，

則C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0，），
                                      ……8分
設平面PAB的法向量為

令
設平面PBC的法向量為
,

令＝0，=1，=－，                            ……10分

二面角的平面角的余弦值為                         ……12分
點評：立體幾何問題，主要是考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解決此類問題時，要緊扣相應的判定定理和性質定理，要將定理中要求的條件一一列舉出來，缺一不可，用空間向量解決立體幾何問題時，要仔細運算，適當轉化.