Question

（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠ ＝，且＝，、、分別為、、的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）設是的中點，連結，則平行且等于，所以四邊形是平行四邊形，所以//，從而∥平面．
（2）∵為等腰直角三角形，為的中點，∴⊥，又∵⊥平面，可證⊥∵＝,∴，∴，∵ 
（3）1

試題分析：（1）方法1：設是的中點，連結，則平行且等于，…（2分）
所以四邊形是平行四邊形，所以//，
從而∥平面．                                      …………（4分）
方法2：連接、，并延長交的延長線于點，連接．
由為的中點，‖,可證              ……（2分）
∵、是、的中點，∴‖，又∵平面，
平面，∴ ∥平面               ………（4分）
（2）∵為等腰直角三角形，為的中點，∴⊥，
又∵⊥平面，可證⊥                ……（6分）
∵＝,∴，
∴，
∵                  ……（8分）
（3），，…………（10分）
…………（12分）
點評：高考中常考查空間中平行關系與垂直關系的證明以及幾何體體積的計算，這是高考的重點內容.證明的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關的判定定理與性質定理.