Question

（本小題滿分13分）如圖所示，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是棱上的動點．

（Ⅰ）若是的中點，求證：//平面；
（Ⅱ）若，求證：；
（III）在（Ⅱ）的條件下，若，求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）根據底面為菱形， 所以為的中點．
因為 是的中點，所以從而得證。
（2）根據已知的條件得到平面，然后結合線面垂直的性質定理得到結論
（3）

試題分析：（Ⅰ）證明:連結，交于．

因為底面為菱形， 所以為的中點．
因為 是的中點，所以 ，
因為平面，平面，
所以平面． …………………4分
（Ⅱ）證明：因為底面為菱形，
所以，為的中點．
因為，所以 ．   
因為，所以 平面．因為平面，
所以 ．                   ………………………………8分
（Ⅲ）因為，所以△為等腰三角形 ．
因為為的中點，所以．
由（Ⅱ）知，且，
所以平面，即為四棱錐的高． 
因為四邊形是邊長為2的菱形，且，
所以．
所以 ．              ……………12分
點評：解決該試題的關鍵是利用空間的線面平行和線面垂直的性質定理和判定定理來證明平行與垂直同時根據等體積法來求解體積。屬于中檔題。