Question

【題目】某學校為了解該校高三年級學生數學科學習情況，對廣一模考試數學成績進行分析，從中抽取了n 名學生的成績作為樣本進行統計（該校全體學生的成績均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在[70，90）內的所有數據的莖葉圖如圖2所示．
根據上級統計劃出預錄分數線，有下列分數與可能被錄取院校層次對照表為表（ c ）．

分數	[50，85]	[85，110]	[110，150]
可能被錄取院校層次	專科	本科	重本

（1）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）根據樣本估計總體的思想，以事件發生的頻率作為概率，若在該校高三年級學生中任取3 人，求至少有一人是可能錄取為重本層次院校的概率；
（3）在選取的樣本中，從可能錄取為重本和專科兩個層次的學生中隨機抽取3 名學生進行調研，用ξ表示所抽取的3 名學生中為重本的人數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，樣本容量

解得

（2）解：成績能被重點大學錄取的人數為50×（0.014+0.01+0.006）=15人，抽取的50人中成績能被重點大學錄取的頻率是 ，故從該校高三年級學生中任取1人的概率為

記該校高三年級學生中任取3人，至少有一人能被重點大學錄取的事件為E；

則

（3）解：成績能被重點大學錄取的人數為15人，成績能被專科學校錄取的人數為50×（0.004+0.006）+2=7人，

故隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3

所以， ， ， ，

故隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

隨機變量ξ的數學期望

【解析】（1）由題意可知，樣本容量n= ，再根據頻率分布直方圖的性質即可得出x，y．（2）成績能被重點大學錄取的人數為50×（0.014+0.01+0.006）人，抽取的50人中成績能被重點大學錄取的頻率是 ，故從該校高三年級學生中任取1人的概率為 ．記該校高三年級學生中任取3人，至少有一人能被重點大學錄取的事件為E；進而得出P（E）=1﹣ 即可得出．（3）成績能被重點大學錄取的人數為15人，成績能被專科學校錄取的人數為50×（0.004+0.006）+2=7人，可得隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布列即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．